Ένα παράδειγμα δεν είναι απόδειξη: γιατί το «ισχύει εδώ» δεν σημαίνει «ισχύει πάντα»
Πώς ξεχωρίζουμε την παρατήρηση από τη μαθηματική απόδειξη, γιατί ένα αντιπαράδειγμα μπορεί να καταρρίψει έναν γενικό κανόνα και τι σημαίνει πραγματικά να κατανοούμε ένα μαθηματικό επιχείρημα.
«Το ότι μια ιδέα λειτουργεί σε πολλές περιπτώσεις δεν εξηγεί ακόμη γιατί πρέπει να λειτουργεί σε όλες.»
— Tymur Levitin
1. Δοκίμασες δέκα παραδείγματα. Απέδειξες τον κανόνα;
Ένας μαθητής παρατηρεί κάτι ενδιαφέρον.
Παίρνει έναν φυσικό αριθμό, τον πολλαπλασιάζει με τον επόμενό του και προσθέτει 2.
Δοκιμάζει:
Όλα τα αποτελέσματα είναι άρτια.
Συνεχίζει με περισσότερους αριθμούς.
Και πάλι, όλα είναι άρτια.
Τότε λέει:
«Το απέδειξα. Το αποτέλεσμα είναι πάντα άρτιο.»
Έχει δίκιο ως προς το συμπέρασμα.
Αλλά έχει πράγματι αποδείξει τον κανόνα;
Όχι ακόμη.
Έχει ελέγξει ορισμένες περιπτώσεις. Δεν έχει εξηγήσει γιατί ο κανόνας ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό.
Η διαφορά είναι θεμελιώδης.
Μια σωστή απάντηση δεν συνεπάγεται αυτομάτως και σωστή απόδειξη.
2. Παρατήρηση, εικασία και απόδειξη
Στα μαθηματικά χρειάζεται να διακρίνουμε τρία στάδια.
Παρατήρηση: εξετάζουμε συγκεκριμένες περιπτώσεις και εντοπίζουμε ένα μοτίβο.
Εικασία: διατυπώνουμε έναν πιθανό γενικό κανόνα.
Απόδειξη: εξηγούμε, με έγκυρα λογικά βήματα, γιατί ο κανόνας ισχύει σε ολόκληρο το πεδίο στο οποίο αναφέρεται.
Από το παράδειγμα στη μαθηματική γνώση
Συγκεκριμένες περιπτώσεις
Αναγνώριση μοτίβου
Διατύπωση εικασίας
Έλεγχος της λογικής
Μαθηματική απόδειξη
Η παρατήρηση δεν είναι άχρηστη.
Αντίθετα, αποτελεί συχνά την αρχή της μαθηματικής ανακάλυψης.
Το πρόβλημα εμφανίζεται όταν συγχέουμε την ανακάλυψη ενός μοτίβου με την απόδειξή του.
3. Γιατί το άθροισμα \(n(n+1)+2\) είναι πάντα άρτιο;
Ας επιστρέψουμε στο πρώτο παράδειγμα.
Θέλουμε να αποδείξουμε ότι:
είναι άρτιος αριθμός για κάθε φυσικό αριθμό \(n\).
Δεν χρειάζεται να ελέγξουμε χιλιάδες τιμές.
Χρειάζεται να κατανοήσουμε τη δομή της παράστασης.
Οι αριθμοί \(n\) και \(n+1\) είναι διαδοχικοί.
Από δύο διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, ο ένας είναι πάντα άρτιος.
Επομένως, το γινόμενό τους:
είναι άρτιο.
Το 2 είναι επίσης άρτιο.
Το άθροισμα δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιο.
Άρα:
για κάθε φυσικό αριθμό \(n\).
Αυτή είναι απόδειξη.
Δεν εξετάσαμε απλώς περισσότερες περιπτώσεις.
Εντοπίσαμε τον μηχανισμό που καθιστά αδύνατη μια εξαίρεση μέσα στο συγκεκριμένο πεδίο.
4. Χίλια σωστά παραδείγματα μπορούν να συνυπάρχουν με έναν λανθασμένο κανόνα
Ας εξετάσουμε την πρόταση:
«Κάθε αριθμός μεγαλύτερος από το 1 είναι πρώτος.»
Δοκιμάζουμε:
2 — πρώτος.
3 — πρώτος.
5 — πρώτος.
7 — πρώτος.
11 — πρώτος.
Όλα τα επιλεγμένα παραδείγματα επιβεβαιώνουν την πρόταση.
Αλλά η πρόταση είναι λανθασμένη.
Ο αριθμός 4 είναι μεγαλύτερος από το 1 και δεν είναι πρώτος.
Το πρόβλημα δεν ήταν ο αριθμός των δοκιμών.
Ήταν ότι τα παραδείγματα δεν κάλυπταν το σύνολο των περιπτώσεων και δεν παρείχαν γενική απόδειξη.
Μπορούμε να επιλέξουμε πάρα πολλά παραδείγματα που συμφωνούν με μια λανθασμένη πρόταση.
Η συχνότητα επιβεβαίωσης δεν αντικαθιστά τη λογική αναγκαιότητα.
5. Ένα αντιπαράδειγμα αρκεί — αλλά για ποια πρόταση;
Στη μαθηματική λογική, μια καθολική πρόταση έχει τη μορφή:
Διαβάζουμε:
Για κάθε στοιχείο \(x\) του συνόλου \(D\), ισχύει η ιδιότητα \(P(x)\).
Για να απορρίψουμε αυτή την πρόταση, αρκεί να βρούμε ένα στοιχείο του ίδιου συνόλου για το οποίο η ιδιότητα δεν ισχύει.
Αυτό είναι ένα αντιπαράδειγμα.
Καθολική πρόταση
Η ιδιότητα ισχύει για όλα τα στοιχεία του πεδίου.
Άρνηση
Υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο για το οποίο δεν ισχύει.
Ένα έγκυρο αντιπαράδειγμα καταρρίπτει την καθολική πρόταση. Δεν αποδεικνύει όμως ότι η ιδιότητα είναι ψευδής για όλα τα στοιχεία.
Αυτό το τελευταίο σημείο είναι σημαντικό.
Αν βρούμε έναν άνθρωπο που δεν γνωρίζει ελληνικά, δεν αποδεικνύουμε ότι κανένας άνθρωπος δεν γνωρίζει ελληνικά.
Απορρίπτουμε μόνο την πρόταση:
«Όλοι οι άνθρωποι γνωρίζουν ελληνικά.»
Η λογική ακρίβεια απαιτεί να γνωρίζουμε ακριβώς ποια πρόταση απορρίπτουμε.
6. Το πεδίο ορισμού αλλάζει την αλήθεια μιας πρότασης
Εξετάζουμε την πρόταση:
Ισχύει πάντα;
Για \(x=2\):
Σωστό.
Για \(x=3\):
Σωστό.
Για \(x=0\):
Σωστό.
Αλλά για:
έχουμε:
Άρα η πρόταση δεν ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
Μπορούμε όμως να εξετάσουμε ακριβέστερα πότε ισχύει:
Επομένως:
Η πρόταση είναι αληθής σε αυτές τις περιοχές.
Δεν είναι αληθής στο διάστημα:
Έτσι, ένα αντιπαράδειγμα δεν μας βοηθά μόνο να απορρίψουμε μια υπερβολικά γενική πρόταση.
Μπορεί να μας οδηγήσει στη σωστή, ακριβέστερη διατύπωσή της.
7. Η λέξη «πάντα» δημιουργεί μια ισχυρή υποχρέωση
Στην καθημερινή γλώσσα λέμε συχνά:
«Αυτό λειτουργεί πάντα.»
«Όλοι κάνουν το ίδιο.»
«Κάθε τέτοια περίπτωση έχει την ίδια λύση.»
Στα μαθηματικά, όμως, η λέξη «πάντα» δεν είναι διακοσμητική.
Αν δηλώνουμε ότι μια ιδιότητα ισχύει για κάθε στοιχείο ενός συνόλου, αναλαμβάνουμε να δικαιολογήσουμε αυτή τη γενικότητα.
Δεν αρκεί να πούμε:
«Το δοκίμασα αρκετές φορές.»
Η πρόταση πρέπει να αντέχει σε κάθε επιτρεπτή περίπτωση.
Και η λέξη επιτρεπτή έχει ιδιαίτερη σημασία.
Ένα αντιπαράδειγμα πρέπει να ανήκει στο πεδίο της πρότασης.
Αν εξετάζουμε φυσικούς αριθμούς, ένας αρνητικός μη ακέραιος αριθμός δεν αποτελεί αυτομάτως έγκυρο αντιπαράδειγμα.
8. Η διαφορά ανάμεσα στο «για κάθε» και στο «υπάρχει»
Ας συγκρίνουμε δύο προτάσεις.
Α. Κάθε άρτιος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4.
Β. Υπάρχει άρτιος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 4.
Η πρώτη είναι λανθασμένη.
Ο αριθμός 6 είναι άρτιος, αλλά δεν είναι πολλαπλάσιο του 4.
Η δεύτερη είναι αληθής.
Ο αριθμός 8 είναι άρτιος και πολλαπλάσιο του 4.
Οι δύο προτάσεις αναφέρονται στους ίδιους τύπους αριθμών.
Όμως οι λογικοί ποσοδείκτες τους είναι διαφορετικοί.
Έκφραση | Λογική σημασία |
|---|---|
Για κάθε | Καθολική ισχύς |
Υπάρχει | Τουλάχιστον μία περίπτωση |
Δεν υπάρχει | Καμία περίπτωση |
Δεν ισχύει για όλα | Τουλάχιστον μία εξαίρεση |
Η κατανόηση αυτών των εκφράσεων είναι απαραίτητη τόσο για τη μαθηματική απόδειξη όσο και για την ακριβή χρήση της γλώσσας.
9. Το «αν» δεν σημαίνει «αν και μόνο αν»
Εδώ εμφανίζεται μια άλλη συνηθισμένη λογική παγίδα.
Η πρόταση:
«Αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4, τότε είναι άρτιος.»
είναι αληθής.
Συμβολικά:
Όπου:
\(P\): ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4.
\(Q\): ο αριθμός είναι άρτιος.
Μπορούμε να αντιστρέψουμε την πρόταση;
«Αν ένας αριθμός είναι άρτιος, τότε είναι πολλαπλάσιο του 4.»
Όχι.
Ο αριθμός 6 αποτελεί αντιπαράδειγμα.
Άρα:
δεν συνεπάγεται γενικά:
Η αντιστροφή μιας συνεπαγωγής είναι ένα νέο μαθηματικό ερώτημα.
Δεν αποτελεί αυτόματο δικαίωμά μας.
10. Αναγκαία και ικανή συνθήκη
Ας χρησιμοποιήσουμε το ίδιο παράδειγμα.
Το να είναι ένας ακέραιος αριθμός άρτιος είναι αναγκαία συνθήκη για να είναι πολλαπλάσιο του 4.
Αλλά δεν είναι ικανή συνθήκη.
Το να είναι πολλαπλάσιο του 4 είναι ικανή συνθήκη για να είναι άρτιος.
Αυτή η διάκριση επιτρέπει να κατανοούμε ακριβέστερα τις μαθηματικές προτάσεις.
Παράδειγμα συνεπαγωγής
Πολλαπλάσιο του 4
Άρτιος αριθμός
Στην πράξη, πολλές λανθασμένες αποδείξεις προκύπτουν επειδή κάποιος χρησιμοποιεί μια αναγκαία συνθήκη σαν να ήταν ικανή.
11. Η αντιθετοαντιστροφή δεν είναι η απλή αντιστροφή
Από την πρόταση:
μπορούμε να περάσουμε στην ισοδύναμη πρόταση:
Αυτό ονομάζεται αντιθετοαντιστροφή.
Παράδειγμα:
Αν ένας ακέραιος αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 4, τότε είναι άρτιος.
Ισοδύναμα:
Αν ένας ακέραιος αριθμός δεν είναι άρτιος, τότε δεν είναι πολλαπλάσιο του 4.
Αυτή η δεύτερη πρόταση είναι επίσης αληθής.
Η αντιθετοαντιστροφή διατηρεί τη λογική ισοδυναμία.
Η απλή αντιστροφή δεν τη διατηρεί γενικά.
Αυτό δεν είναι ζήτημα απομνημόνευσης ονομάτων.
Είναι ζήτημα κατανόησης του τρόπου με τον οποίο λειτουργεί μια συνεπαγωγή.
12. Η μαθηματική επαγωγή δεν είναι απλώς πολλά παραδείγματα
Η λέξη «επαγωγή» μπορεί να προκαλέσει σύγχυση.
Στην καθημερινή σκέψη, η επαγωγική γενίκευση συχνά σημαίνει ότι παρατηρούμε αρκετές περιπτώσεις και διατυπώνουμε έναν γενικό κανόνα.
Η μαθηματική επαγωγή είναι διαφορετική.
Πρόκειται για αυστηρή μέθοδο απόδειξης, η οποία στηρίζεται σε συγκεκριμένη λογική δομή.
Για μια πρόταση \(P(n)\), αποδεικνύουμε:
Βάση: η πρόταση ισχύει για την αρχική τιμή.
Επαγωγικό βήμα: αν ισχύει για μια επιτρεπτή τιμή \(k\), τότε ισχύει και για την επόμενη \(k+1\).
Με αυτόν τον τρόπο δεν ελέγχουμε απλώς έναν μεγάλο αριθμό περιπτώσεων.
Αποδεικνύουμε έναν μηχανισμό μετάβασης που καλύπτει όλες τις τιμές του αντίστοιχου φυσικού πεδίου.
13. Παράδειγμα μαθηματικής επαγωγής
Θέλουμε να αποδείξουμε:
για κάθε φυσικό αριθμό \(n\geq1\).
Βάση
Για \(n=1\):
Η πρόταση ισχύει.
Επαγωγική υπόθεση
Υποθέτουμε ότι για κάποιο \(k\geq1\):
Επαγωγικό βήμα
Προσθέτουμε \(k+1\):
Χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση:
Αυτός είναι ακριβώς ο τύπος για \(n=k+1\).
Επομένως, η πρόταση ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς \(n\geq1\).
Η απόδειξη δεν βασίζεται στο ότι δοκιμάσαμε αρκετές τιμές.
Βασίζεται στο ότι αποδείξαμε τη βάση και τη γενική μετάβαση.
14. Γιατί η βάση και το επαγωγικό βήμα χρειάζονται και τα δύο
Φανταστείτε μια ατελείωτη σειρά από ντόμινο.
Το επαγωγικό βήμα μάς λέει:
Αν πέσει ένα συγκεκριμένο ντόμινο, τότε θα πέσει και το επόμενο.
Αλλά αυτό δεν εγγυάται ότι θα πέσει οποιοδήποτε ντόμινο.
Χρειάζεται επίσης να πέσει το πρώτο.
Αυτός είναι ο ρόλος της βάσης.
Αν αποδείξουμε μόνο τη βάση, γνωρίζουμε μία περίπτωση.
Αν αποδείξουμε μόνο τη μετάβαση, δεν έχουμε εξασφαλίσει την εκκίνηση.
Μόνο ο συνδυασμός τους ολοκληρώνει τη μαθηματική επαγωγή.
15. Ένα διάγραμμα μπορεί να βοηθά χωρίς να αποδεικνύει
Στη γεωμετρία, ένα σχήμα μπορεί να κάνει μια σχέση ορατή.
Αλλά το σχήμα συχνά παρουσιάζει μία συγκεκριμένη περίπτωση.
Μπορεί να είναι σχεδιασμένο με ειδικές αναλογίες.
Μπορεί να δημιουργεί οπτική εντύπωση ισότητας που δεν ισχύει γενικά.
Μπορεί να κρύβει μια οριακή περίπτωση.
Γι’ αυτό η φράση:
«Φαίνεται από το σχήμα.»
δεν αρκεί πάντα ως μαθηματική απόδειξη.
Το σχήμα είναι εργαλείο σκέψης.
Η απόδειξη πρέπει να εξηγεί γιατί η σχέση ισχύει υπό τις δηλωμένες προϋποθέσεις.
16. Η αριθμομηχανή μπορεί να επιβεβαιώσει έναν υπολογισμό, όχι κάθε γενίκευση
Ένας μαθητής χρησιμοποιεί αριθμομηχανή και ελέγχει εκατό τιμές.
Δεν βρίσκει καμία εξαίρεση.
Αυτό μπορεί να είναι χρήσιμη ένδειξη.
Αλλά δεν αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει εξαίρεση σε μια άπειρη περιοχή.
Αντίθετα, όταν ο υπολογισμός αφορά ένα συγκεκριμένο πεπερασμένο σύνολο και έχει γίνει πλήρης, αξιόπιστος έλεγχος όλων των περιπτώσεων, η εξαντλητική επαλήθευση μπορεί να αποτελέσει έγκυρη μέθοδο.
Άρα χρειάζεται μια σημαντική διάκριση:
Μερικός έλεγχος ≠ εξαντλητικός έλεγχος.
Και:
Εξαντλητικός έλεγχος ενός πεπερασμένου πεδίου ≠ έλεγχος ενός άπειρου πεδίου.
17. Όταν ένας υπολογιστής ελέγχει ένα εκατομμύριο περιπτώσεις
Στον προγραμματισμό, συχνά χρησιμοποιούμε αυτόματους ελέγχους.
Ένα πρόγραμμα εκτελείται με χιλιάδες ή εκατομμύρια διαφορετικές εισόδους.
Δεν εμφανίζεται κανένα σφάλμα.
Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι απολύτως σωστό;
Όχι γενικά.
Οι έλεγχοι μπορούν να αποκαλύψουν σφάλματα και να αυξήσουν την εμπιστοσύνη μας.
Δεν αποδεικνύουν αυτομάτως την ορθότητα για κάθε δυνατή είσοδο, κατάσταση ή περιβάλλον εκτέλεσης.
Αντίθετα, η τυπική επαλήθευση επιχειρεί να αποδείξει συγκεκριμένες ιδιότητες ενός συστήματος βάσει ρητών προϋποθέσεων και μαθηματικών μεθόδων.
Η διαφορά είναι αντίστοιχη με εκείνη ανάμεσα στα αριθμητικά παραδείγματα και στη γενική μαθηματική απόδειξη.
18. Ένα επιτυχημένο τεστ δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει σφάλμα
Ας υποθέσουμε ότι γράφουμε μια συνάρτηση που πρέπει να επιστρέφει τον μεγαλύτερο από δύο αριθμούς.
Δοκιμάζουμε:
\(f(3,5)=5\)
\(f(10,2)=10\)
\(f(7,7)=7\)
Όλα σωστά.
Αλλά τι γίνεται με αρνητικούς αριθμούς;
Με μη αριθμητικές εισόδους;
Με πολύ μεγάλες τιμές;
Με ειδικές αναπαραστάσεις αριθμών;
Οι απαντήσεις εξαρτώνται από τις προδιαγραφές της συνάρτησης.
Δεν μπορούμε να αξιολογήσουμε την ορθότητα χωρίς να γνωρίζουμε τι ακριβώς απαιτείται.
Ένα πρόγραμμα είναι σωστό ή λανθασμένο σε σχέση με συγκεκριμένες προδιαγραφές.
Αυτό είναι το υπολογιστικό αντίστοιχο του μαθηματικού πεδίου ορισμού.
19. Η απόδειξη χρειάζεται προϋποθέσεις
Εξετάζουμε την πρόταση:
Ισχύει πάντα;
Για \(x=3\):
Σωστό.
Για \(x=0\):
Σωστό.
Αλλά για \(x=-3\):
και όχι \(-3\).
Η σωστή γενική ταυτότητα για πραγματικό \(x\) είναι:
Η αρχική ισότητα ισχύει όταν \(x\geq0\).
Το πρόβλημα δεν ήταν η τετραγωνική ρίζα.
Ήταν η παράλειψη μιας κρίσιμης προϋπόθεσης.
20. Μια απόδειξη μπορεί να είναι σωστή αλλά να αποδεικνύει κάτι διαφορετικό
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να αποδείξουμε:
Κάθε αριθμός μιας συγκεκριμένης κατηγορίας έχει την ιδιότητα Α.
Αν αποδείξουμε μόνο ότι ένας αριθμός αυτής της κατηγορίας έχει την ιδιότητα Α, έχουμε αποδείξει μια υπαρξιακή περίπτωση.
Δεν έχουμε αποδείξει την καθολική πρόταση.
Αυτό είναι συχνό πρόβλημα στα μαθηματικά.
Ο μαθητής κάνει σωστούς υπολογισμούς, αλλά δεν ελέγχει αν το συμπέρασμα αντιστοιχεί ακριβώς στο ζητούμενο.
Η ορθότητα κάθε βήματος δεν αρκεί, αν η συνολική αλυσίδα δεν οδηγεί στην απαιτούμενη πρόταση.
21. Η απόδειξη δεν είναι μια επίδειξη δύσκολων συμβόλων
Μερικές φορές ένας μαθητής πιστεύει ότι μια απόδειξη πρέπει να περιέχει πολλές εξισώσεις.
Όμως η μαθηματική απόδειξη δεν αξιολογείται από τον αριθμό των συμβόλων της.
Μια σύντομη λεκτική απόδειξη μπορεί να είναι πλήρης.
Μια σελίδα εξισώσεων μπορεί να περιέχει λογικό κενό.
Η βασική ερώτηση είναι:
Γιατί κάθε επόμενο βήμα ακολουθεί από όσα έχουν ήδη δικαιολογηθεί;
Αν δεν μπορούμε να απαντήσουμε, η παρουσία μαθηματικών συμβόλων δεν λύνει το πρόβλημα.
22. Η απόδειξη με άτοπο
Μια άλλη σημαντική μέθοδος είναι η απαγωγή σε άτοπο.
Υποθέτουμε προσωρινά ότι η πρόταση που θέλουμε να αποδείξουμε είναι ψευδής.
Έπειτα δείχνουμε ότι αυτή η υπόθεση οδηγεί σε αντίφαση.
Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η απόδειξη ότι ο \(\sqrt2\) είναι άρρητος.
Υποθέτουμε ότι:
όπου \(a,b\) είναι ακέραιοι, \(b\neq0\), και το κλάσμα είναι σε ανάγωγη μορφή.
Τότε:
Άρα το \(a^2\) είναι άρτιο, επομένως και το \(a\) είναι άρτιο.
Γράφουμε:
Οπότε:
και:
Άρα και το \(b\) είναι άρτιο.
Αυτό σημαίνει ότι το \(a\) και το \(b\) έχουν κοινό παράγοντα το 2, σε αντίφαση με την υπόθεση ότι το κλάσμα ήταν ανάγωγο.
Επομένως ο \(\sqrt2\) δεν είναι ρητός.
Η απόδειξη δεν προκύπτει από δεκαδικές προσεγγίσεις του \(\sqrt2\).
Προκύπτει από τη λογική αντίφαση.
23. Το αντιπαράδειγμα δεν είναι πάντα ένας αριθμός
Συχνά φανταζόμαστε ένα αντιπαράδειγμα ως έναν αριθμό.
Αλλά μπορεί να είναι:
ένα γεωμετρικό σχήμα,
μια συνάρτηση,
ένα σύνολο,
μια ακολουθία,
ένας αλγόριθμος,
μια λογική κατάσταση.
Για παράδειγμα, η πρόταση:
«Κάθε συνεχής συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.»
είναι ψευδής.
Η συνάρτηση:
είναι συνεχής στο \(x=0\), αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη εκεί.
Αυτό είναι ένα αντιπαράδειγμα.
Η μορφή του αντιπαραδείγματος εξαρτάται από τη μαθηματική πρόταση που εξετάζουμε.
24. Ένα αντιπαράδειγμα πρέπει να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις
Ας εξετάσουμε την πρόταση:
«Κάθε θετικός ακέραιος αριθμός έχει τετράγωνο μεγαλύτερο ή ίσο από τον ίδιο.»
Η πρόταση είναι αληθής.
Αν κάποιος χρησιμοποιήσει τον αριθμό:
για να την απορρίψει, έχει κάνει λάθος.
Το \(\frac12\) δεν είναι θετικός ακέραιος.
Το υποτιθέμενο αντιπαράδειγμα βρίσκεται εκτός του πεδίου.
Επομένως, για να καταρρίψουμε μια πρόταση, δεν αρκεί να βρούμε μια περίπτωση όπου το συμπέρασμα αποτυγχάνει.
Πρέπει η περίπτωση αυτή να ικανοποιεί και όλες τις σχετικές προϋποθέσεις.
25. Η γενίκευση μπορεί να αποτύχει λόγω μιας κρυφής εξαίρεσης
Συχνά οι μαθητές αναγνωρίζουν ένα μοτίβο, αλλά παραβλέπουν μια ειδική περίπτωση.
Για παράδειγμα:
Αυτό είναι σωστό όταν \(x\neq0\).
Αλλά για \(x=0\), η αρχική παράσταση δεν ορίζεται.
Αν κάποιος απλοποιήσει μηχανικά το \(x\), μπορεί να ξεχάσει ότι η διαίρεση με το μηδέν δεν επιτρέπεται.
Η σωστή διατύπωση είναι:
Η προϋπόθεση δεν είναι ασήμαντη λεπτομέρεια.
Είναι μέρος της μαθηματικής πρότασης.
26. Η διάκριση ανάμεσα στο «φαίνεται σωστό» και στο «είναι αποδεδειγμένο»
Ένα μαθηματικό επιχείρημα μπορεί να φαίνεται πειστικό επειδή:
χρησιμοποιεί γνωστούς τύπους,
περιέχει σωστές αριθμητικές πράξεις,
συμφωνεί με πολλά παραδείγματα,
καταλήγει στο αναμενόμενο αποτέλεσμα,
ή παρουσιάζεται με αυτοπεποίθηση.
Κανένα από αυτά δεν αποτελεί από μόνο του εγγύηση λογικής εγκυρότητας.
Η απόδειξη απαιτεί να εξετάσουμε τη σχέση ανάμεσα στις προϋποθέσεις και στο συμπέρασμα.
Η πειστική παρουσίαση δεν είναι το ίδιο με τη λογική θεμελίωση.
27. Πώς ελέγχουμε μια μαθηματική απόδειξη;
Μια μαθηματική απόδειξη δεν γίνεται έγκυρη επειδή περιέχει πολλούς τύπους ή επειδή καταλήγει σε ένα σωστό αποτέλεσμα.
Για να αξιολογήσουμε ένα μαθηματικό επιχείρημα, πρέπει να εξετάσουμε αν κάθε βήμα είναι λογικά δικαιολογημένο και αν το τελικό συμπέρασμα αντιστοιχεί ακριβώς στην αρχική πρόταση.
Ακολουθούν δέκα ερωτήσεις που βοηθούν στον συστηματικό έλεγχο μιας απόδειξης.
1. Ποια ακριβώς πρόταση πρέπει να αποδειχθεί;
Πριν ξεκινήσουμε, πρέπει να γνωρίζουμε τι ισχυρίζεται η πρόταση.
Ζητείται να αποδείξουμε ότι κάτι ισχύει για όλους τους αριθμούς μιας κατηγορίας;
Ότι υπάρχει τουλάχιστον μία περίπτωση;
Ή ότι μια σχέση ισχύει μόνο υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις;
Η λογική μορφή της πρότασης καθορίζει και το είδος της απόδειξης που χρειαζόμαστε.
2. Ποιο είναι το πεδίο των μεταβλητών;
Μια πρόταση μπορεί να ισχύει για τους φυσικούς αριθμούς αλλά να αποτυγχάνει για τους πραγματικούς.
Για παράδειγμα:
[
x^2\geq x
]
Η ανισότητα ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό, αλλά όχι για κάθε πραγματικό αριθμό.
Αν επιλέξουμε:
[
x=\frac12
]
τότε:
[
\frac14<\frac12
]
Επομένως, το πεδίο των μεταβλητών αποτελεί ουσιαστικό μέρος της πρότασης.
3. Ποιες είναι οι προϋποθέσεις;
Πρέπει να εντοπίζουμε όλες τις συνθήκες που απαιτούνται για την εφαρμογή ενός κανόνα.
Για παράδειγμα:
[
\frac{x^2-x}{x}=x-1
]
Η ισότητα ισχύει μόνο όταν:
[
x\neq0
]
Η παράλειψη αυτής της προϋπόθεσης μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένο συμπέρασμα.
4. Χρησιμοποιούνται σωστά οι λογικοί ποσοδείκτες;
Οι εκφράσεις «για κάθε» και «υπάρχει» δεν είναι ισοδύναμες.
Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας αριθμός με μια συγκεκριμένη ιδιότητα, μπορεί να αρκεί ένα κατάλληλο παράδειγμα.
Για να αποδείξουμε ότι όλοι οι αριθμοί ενός άπειρου συνόλου έχουν την ιδιότητα, χρειάζεται γενική τεκμηρίωση.
Η σύγχυση ανάμεσα στους ποσοδείκτες μπορεί να αλλάξει εντελώς το νόημα μιας απόδειξης.
5. Κάθε βήμα προκύπτει λογικά από το προηγούμενο;
Μια απόδειξη είναι αλυσίδα συλλογισμών.
Κάθε μετάβαση πρέπει να δικαιολογείται από προηγούμενα αποτελέσματα, ορισμούς ή έγκυρους μαθηματικούς κανόνες.
Αν ένα βήμα δεν δικαιολογείται, η αλυσίδα μπορεί να είναι ελλιπής ακόμη και όταν το τελικό αποτέλεσμα είναι σωστό.
6. Υπάρχει μη επιτρεπτή μαθηματική πράξη;
Πρέπει να ελέγχουμε ιδιαίτερα πράξεις όπως η διαίρεση, η εξαγωγή ρίζας και η εφαρμογή μετασχηματισμών που ενδέχεται να αλλάξουν το σύνολο λύσεων.
Η διαίρεση με το μηδέν δεν επιτρέπεται.
Επίσης, η ύψωση και των δύο μελών μιας εξίσωσης στο τετράγωνο μπορεί να εισαγάγει πρόσθετες υποψήφιες λύσεις που χρειάζονται έλεγχο.
Δεν αρκεί να εκτελούμε σωστά τις πράξεις. Πρέπει να γνωρίζουμε πότε επιτρέπονται και τι συνεπάγονται.
7. Έγινε λανθασμένη αντιστροφή συνεπαγωγής;
Από την πρόταση:
[
P\Rightarrow Q
]
δεν μπορούμε γενικά να συμπεράνουμε:
[
Q\Rightarrow P
]
Για παράδειγμα, κάθε ακέραιος πολλαπλάσιος του 4 είναι άρτιος.
Όμως δεν είναι κάθε άρτιος ακέραιος πολλαπλάσιο του 4.
Ο αριθμός 6 αποτελεί αντιπαράδειγμα στην αντίστροφη πρόταση.
8. Αποδείχθηκε η γενική περίπτωση ή μόνο συγκεκριμένα παραδείγματα;
Ο έλεγχος πολλών τιμών μπορεί να υποστηρίζει μια εικασία.
Δεν αποτελεί όμως αυτομάτως απόδειξη για ένα άπειρο σύνολο.
Πρέπει να αναζητήσουμε έναν γενικό συλλογισμό που καλύπτει όλες τις επιτρεπτές περιπτώσεις.
Αν το πεδίο είναι πεπερασμένο, ένας πλήρης και αξιόπιστος έλεγχος όλων των περιπτώσεων μπορεί να είναι επαρκής.
9. Μπορεί να κατασκευαστεί ένα έγκυρο αντιπαράδειγμα;
Όταν εξετάζουμε μια καθολική πρόταση, πρέπει να αναρωτηθούμε αν υπάρχει περίπτωση που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις αλλά παραβιάζει το συμπέρασμα.
Ένα τέτοιο αντιπαράδειγμα αρκεί για να καταρρίψει την πρόταση.
Αν δεν βρούμε αντιπαράδειγμα, αυτό δεν σημαίνει αυτομάτως ότι έχουμε αποδείξει την πρόταση.
Σημαίνει μόνο ότι η προσπάθεια αναζήτησης δεν αποκάλυψε κάποια εξαίρεση.
10. Το τελικό συμπέρασμα απαντά ακριβώς στο ζητούμενο;
Μια μαθηματική λύση μπορεί να περιέχει σωστούς υπολογισμούς αλλά να μην αποδεικνύει αυτό που ζητήθηκε.
Για παράδειγμα, η απόδειξη ότι μια ιδιότητα ισχύει για έναν συγκεκριμένο αριθμό δεν αποδεικνύει ότι ισχύει για όλους.
Πρέπει να συγκρίνουμε το τελικό συμπέρασμα με την αρχική πρόταση και να βεβαιωθούμε ότι έχουν την ίδια λογική έκταση.
Συνολικός έλεγχος της απόδειξης
Πριν θεωρήσουμε μια απόδειξη ολοκληρωμένη, χρειάζεται να μπορούμε να απαντήσουμε σε τέσσερα βασικά ερωτήματα:
Τι ακριβώς θέλουμε να αποδείξουμε;
Ποιες προϋποθέσεις χρησιμοποιούμε;
Γιατί κάθε βήμα είναι λογικά έγκυρο;
Έχουμε αποδείξει ολόκληρη την πρόταση ή μόνο ένα μέρος της;
Η μαθηματική απόδειξη δεν είναι μια συλλογή σωστών πράξεων.
Είναι μια συνεκτική λογική διαδρομή από τις προϋποθέσεις στο συμπέρασμα.
28. Γιατί οι μαθητές μπερδεύουν την επαλήθευση με την απόδειξη;
Υπάρχουν αρκετοί λόγοι.
Πρώτον, στο σχολείο συχνά ζητείται να υπολογίσουμε ένα αποτέλεσμα.
Ο μαθητής συνηθίζει να θεωρεί ότι η σωστή αριθμητική απάντηση ολοκληρώνει την εργασία.
Δεύτερον, πολλά μαθηματικά μοτίβα ανακαλύπτονται πράγματι μέσω παραδειγμάτων.
Αυτό μπορεί να δημιουργήσει την εντύπωση ότι η ανακάλυψη και η απόδειξη είναι το ίδιο.
Τρίτον, η απόδειξη απαιτεί διαφορετικό είδος σκέψης.
Δεν αρκεί να ξέρουμε τι συμβαίνει.
Πρέπει να εξηγήσουμε γιατί δεν μπορεί να συμβεί διαφορετικά, εφόσον ισχύουν οι προϋποθέσεις.
Αυτό είναι ένα σημαντικό βήμα από την εκτέλεση διαδικασιών στην κατανόηση μαθηματικών σχέσεων.
29. Η σωστή απάντηση δεν αποκαλύπτει πάντα τη σωστή σκέψη
Ένας μαθητής γράφει:
Το αποτέλεσμα είναι σωστό.
Αλλά αν τον ρωτήσουμε γιατί το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού άρτιων αριθμών είναι άρτιο, μπορεί να μη γνωρίζει.
Έχει εκτελέσει έναν υπολογισμό.
Δεν έχει αναγκαστικά κατανοήσει τη γενική ιδιότητα.
Αντίστροφα, ένας μαθητής μπορεί να έχει κατανοήσει σωστά τον μηχανισμό και να κάνει ένα αριθμητικό λάθος.
Επομένως, η αξιολόγηση της μαθηματικής σκέψης χρειάζεται να διακρίνει:
υπολογιστική ακρίβεια, εννοιολογική κατανόηση και λογική τεκμηρίωση.
30. Ένα λάθος μπορεί να δείχνει πού ακριβώς σταμάτησε η κατανόηση
Ας δούμε τρεις διαφορετικές απαντήσεις.
Μαθητής Α: «Ισχύει επειδή το δοκίμασα δέκα φορές.»
Πρόβλημα: συγχέει την επαλήθευση με τη γενική απόδειξη.
Μαθητής Β: «Ισχύει επειδή το λέει ο τύπος.»
Πρόβλημα: χρησιμοποιεί έναν τύπο χωρίς να εξηγεί γιατί εφαρμόζεται.
Μαθητής Γ: «Ισχύει επειδή δύο διαδοχικοί ακέραιοι περιλαμβάνουν πάντα έναν άρτιο.»
Εδώ εμφανίζεται ο γενικός μηχανισμός.
Οι τρεις απαντήσεις δεν απαιτούν την ίδια διδακτική παρέμβαση.
Η ουσιαστική διδασκαλία αρχίζει όταν αναγνωρίζουμε ποια λογική σύνδεση λείπει.
31. Από τα μαθηματικά στην επιστήμη: η λέξη «απόδειξη» αλλάζει πλαίσιο
Στα καθαρά μαθηματικά, μια απόδειξη στηρίζεται σε αξιώματα, ορισμούς και έγκυρους κανόνες συλλογισμού.
Στις εμπειρικές επιστήμες, οι ισχυρισμοί για τον φυσικό κόσμο ελέγχονται μέσω παρατηρήσεων, μετρήσεων, πειραμάτων και θεωρητικών μοντέλων.
Ένα επιστημονικό πείραμα δεν λειτουργεί ακριβώς όπως μια μαθηματική απόδειξη.
Μπορεί να προσφέρει ισχυρά στοιχεία υπέρ ή κατά μιας υπόθεσης.
Αλλά η σχέση ανάμεσα στα δεδομένα και στο επιστημονικό συμπέρασμα εξαρτάται από μεθόδους, αβεβαιότητες, υποθέσεις και δυνατότητα αναπαραγωγής.
Αυτό δεν καθιστά την επιστήμη λιγότερο αξιόπιστη.
Σημαίνει ότι πρέπει να χρησιμοποιούμε σωστά τα κριτήρια του κάθε πεδίου.
32. Από τη λογική στον πραγματικό κόσμο: τι σημαίνει «έχω δει αρκετά»;
Στην καθημερινή ζωή, οι άνθρωποι συχνά γενικεύουν από περιορισμένες εμπειρίες.
«Γνώρισα τρεις ανθρώπους από αυτή την πόλη και όλοι συμπεριφέρθηκαν έτσι.»
«Δύο φορές απέτυχε η μέθοδος, άρα δεν λειτουργεί ποτέ.»
«Πέντε πελάτες ήταν ικανοποιημένοι, άρα όλοι θα είναι ικανοποιημένοι.»
Αυτές οι γενικεύσεις μπορεί να είναι προβληματικές.
Όμως δεν πρέπει να μεταφέρουμε μηχανικά το μαθηματικό κριτήριο της απόδειξης σε κάθε εμπειρικό ζήτημα.
Στην πραγματική ζωή συχνά εργαζόμαστε με πιθανότητες, δείγματα, αβεβαιότητα και μεταβαλλόμενες συνθήκες.
Το μάθημα που μεταφέρεται δεν είναι ότι κάθε γενίκευση είναι άχρηστη.
Είναι ότι πρέπει να γνωρίζουμε πόσο ισχυρό συμπέρασμα δικαιολογούν τα διαθέσιμα στοιχεία.
33. Ένα αντιπαράδειγμα μπορεί να διορθώσει τον κανόνα αντί να τον καταστρέψει
Εξετάζουμε:
«Το τετράγωνο ενός αριθμού είναι μεγαλύτερο από τον ίδιο.»
Η πρόταση είναι ψευδής για πολλούς πραγματικούς αριθμούς.
Για παράδειγμα:
Αλλά δεν χρειάζεται να εγκαταλείψουμε κάθε σχετική μαθηματική γνώση.
Μπορούμε να διατυπώσουμε έναν ακριβέστερο κανόνα:
όταν:
Το αντιπαράδειγμα μάς υποχρεώνει να αναζητήσουμε τις σωστές προϋποθέσεις.
Αυτό είναι ένα από τα πιο δημιουργικά χαρακτηριστικά της μαθηματικής σκέψης.
Ένα σφάλμα μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερη διατύπωση.
34. Η μαθηματική γλώσσα είναι μέρος της μαθηματικής σκέψης
Οι λέξεις:
κάθε, κάποιος, υπάρχει, μόνο αν, αν και μόνο αν, συνεπάγεται, ισοδύναμο, αναγκαίο, ικανό
δεν είναι απλώς γλωσσικές λεπτομέρειες.
Καθορίζουν τη λογική μορφή μιας πρότασης.
Ένας μαθητής μπορεί να γνωρίζει όλες τις πράξεις και να παρερμηνεύει την άσκηση επειδή δεν κατανοεί μια τέτοια έκφραση.
Αυτό γίνεται ιδιαίτερα σημαντικό όταν τα μαθηματικά διδάσκονται σε δεύτερη ή ξένη γλώσσα.
Η δυσκολία μπορεί να βρίσκεται όχι στον υπολογισμό, αλλά στη σχέση ανάμεσα στη φυσική γλώσσα και στη μαθηματική δομή.
35. Ελληνικά και μαθηματικά: όταν η γλώσσα αλλάζει την κατανόηση της άσκησης
Σκεφτείτε τις ακόλουθες οδηγίες:
Να αποδείξετε ότι...
Να επαληθεύσετε ότι...
Να εξετάσετε αν...
Να βρείτε ένα αντιπαράδειγμα...
Να προσδιορίσετε τις τιμές για τις οποίες...
Αυτές οι οδηγίες δεν ζητούν την ίδια ενέργεια.
Οδηγία | Τι απαιτεί |
|---|---|
Να αποδείξετε | Γενική λογική τεκμηρίωση |
Να επαληθεύσετε | Έλεγχο μιας συγκεκριμένης σχέσης ή περίπτωσης |
Να εξετάσετε αν | Διερεύνηση της αλήθειας μιας πρότασης |
Να βρείτε αντιπαράδειγμα | Κατάλληλη περίπτωση που καταρρίπτει την πρόταση |
Να προσδιορίσετε πότε ισχύει | Εύρεση των σωστών προϋποθέσεων ή του πεδίου ισχύος |
Η κατανόηση αυτών των διαφορών είναι μέρος της μαθηματικής επάρκειας.
Δεν αρκεί να μεταφράσουμε τις λέξεις.
Πρέπει να αναγνωρίσουμε την εργασία που απαιτεί κάθε διατύπωση.
36. Μπορείς να λύσεις την άσκηση χωρίς να έχεις καταλάβει την ερώτηση;
Μερικές φορές ναι.
Ένας μαθητής αναγνωρίζει έναν γνώριμο τύπο και εκτελεί τη συνηθισμένη διαδικασία.
Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι σωστό.
Αλλά αν αλλάξει η διατύπωση, ο μαθητής δεν ξέρει τι να κάνει.
Αυτό δείχνει τη διαφορά ανάμεσα στην αναγνώριση ενός μοτίβου άσκησης και στην πραγματική κατανόηση του ζητουμένου.
Η ουσιαστική μάθηση απαιτεί να συνδέσουμε:
τη γλώσσα της ερώτησης, τη μαθηματική έννοια, τη λογική μέθοδο και το επιθυμητό συμπέρασμα.
37. Διαγνωστική άσκηση: παράδειγμα, απόδειξη ή αντιπαράδειγμα;
Η κατανόηση μιας μαθηματικής πρότασης δεν περιορίζεται στον έλεγχο του αποτελέσματος. Πρέπει να μπορούμε να διακρίνουμε μια απλή παρατήρηση από μια έγκυρη απόδειξη και να αναγνωρίζουμε πότε ένα αντιπαράδειγμα καταρρίπτει έναν γενικό ισχυρισμό.
Εξετάστε τις ακόλουθες πέντε περιπτώσεις.
Άσκηση 1. Μπορούμε να γενικεύσουμε από τέσσερα παραδείγματα;
Πρόταση:
«Οι αριθμοί 2, 4, 6 και 8 είναι άρτιοι. Άρα όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι άρτιοι.»
Ερώτημα: Είναι έγκυρο το συμπέρασμα;
Απάντηση: Όχι.
Οι τέσσερις αριθμοί είναι πράγματι άρτιοι. Ωστόσο, δεν αντιπροσωπεύουν όλους τους φυσικούς αριθμούς.
Ο αριθμός 3 είναι φυσικός και περιττός.
Επομένως, αποτελεί αντιπαράδειγμα στην καθολική πρόταση.
Συμπέρασμα: Μερικά σωστά παραδείγματα δεν αποδεικνύουν ότι μια ιδιότητα ισχύει για όλα τα στοιχεία ενός συνόλου.
Άσκηση 2. Πότε έχουμε πραγματική απόδειξη;
Πρόταση:
«Το άθροισμα δύο άρτιων ακεραίων είναι πάντα άρτιο.»
Ερώτημα: Μπορούμε να αποδείξουμε την πρόταση χωρίς να εξετάσουμε ξεχωριστά όλους τους άρτιους αριθμούς;
Απάντηση: Ναι.
Κάθε άρτιος ακέραιος μπορεί να γραφτεί ως 2a, όπου a είναι ακέραιος.
Έστω δύο άρτιοι ακέραιοι:
[
x=2a,\qquad y=2b
]
Τότε:
[
x+y=2a+2b
]
[
x+y=2(a+b)
]
Επειδή το a+b είναι ακέραιος, το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του 2.
Άρα είναι άρτιο.
Συμπέρασμα: Πρόκειται για γενική μαθηματική απόδειξη. Δεν βασίζεται σε επιλεγμένα παραδείγματα, αλλά στον ορισμό του άρτιου αριθμού.
Άσκηση 3. Μια πρόταση για όλους τους πραγματικούς αριθμούς
Πρόταση:
«Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μη αρνητικό τετράγωνο.»
Ερώτημα: Είναι αληθής η πρόταση;
Απάντηση: Ναι.
Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:
[
x^2\geq0
]
Αν x είναι θετικός, το τετράγωνό του είναι θετικό.
Αν x είναι αρνητικός, το γινόμενο δύο αρνητικών αριθμών είναι θετικό.
Αν x=0, τότε:
[
0^2=0
]
Επομένως, το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικό.
Συμπέρασμα: Η πρόταση ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς και μπορεί να δικαιολογηθεί γενικά, χωρίς εξαντλητικό αριθμητικό έλεγχο.
Άσκηση 4. Ένα αντιπαράδειγμα καταρρίπτει τον κανόνα
Πρόταση:
«Όλοι οι πρώτοι αριθμοί είναι περιττοί.»
Ερώτημα: Είναι σωστή η πρόταση;
Απάντηση: Όχι.
Ο αριθμός 2 είναι πρώτος, επειδή έχει ακριβώς δύο θετικούς διαιρέτες: το 1 και τον εαυτό του.
Ταυτόχρονα, είναι άρτιος, επειδή διαιρείται με το 2.
Άρα ο αριθμός 2 αποτελεί αντιπαράδειγμα.
Συμπέρασμα: Για να απορρίψουμε μια καθολική πρόταση, αρκεί ένα έγκυρο αντιπαράδειγμα. Δεν χρειάζεται να αποδείξουμε ότι η πρόταση αποτυγχάνει σε όλες τις περιπτώσεις.
Άσκηση 5. Χίλιες επιτυχημένες δοκιμές αποδεικνύουν την ορθότητα ενός προγράμματος;
Πρόταση:
«Έλεγξα τη συνάρτηση για 1.000 διαφορετικές εισόδους και δεν βρήκα κανένα σφάλμα. Άρα η συνάρτηση είναι σωστή για όλες τις δυνατές εισόδους.»
Ερώτημα: Είναι λογικά δικαιολογημένο το συμπέρασμα;
Απάντηση: Όχι απαραίτητα.
Οι επιτυχημένες δοκιμές δείχνουν ότι η συνάρτηση λειτούργησε σωστά στις περιπτώσεις που εξετάστηκαν.
Δεν αποδεικνύουν αυτομάτως ότι θα λειτουργήσει σωστά σε κάθε άλλη επιτρεπτή περίπτωση.
Ενδέχεται να υπάρχουν ειδικές τιμές, οριακές συνθήκες ή συνδυασμοί εισόδων που δεν ελέγχθηκαν.
Αν όμως το πεδίο των επιτρεπτών εισόδων είναι πεπερασμένο και έχουν ελεγχθεί εξαντλητικά όλες οι περιπτώσεις με αξιόπιστο τρόπο, τότε ο πλήρης έλεγχος μπορεί να τεκμηριώσει την ορθότητα της συγκεκριμένης ιδιότητας στο συγκεκριμένο πεδίο.
Συμπέρασμα: Πρέπει να διακρίνουμε τον μερικό έλεγχο από την εξαντλητική επαλήθευση και τη γενική απόδειξη.
Τι μας δείχνουν οι πέντε ασκήσεις;
Οι πέντε περιπτώσεις αναδεικνύουν διαφορετικές λειτουργίες της μαθηματικής σκέψης:
Άσκηση 1: Μια λανθασμένη γενίκευση από περιορισμένα παραδείγματα.
Άσκηση 2: Μια έγκυρη γενική απόδειξη.
Άσκηση 3: Μια αληθής καθολική πρόταση.
Άσκηση 4: Ένα αντιπαράδειγμα που καταρρίπτει μια καθολική πρόταση.
Άσκηση 5: Η διαφορά ανάμεσα στις επιτυχημένες δοκιμές και στην απόδειξη ορθότητας.
Η βασική ερώτηση παραμένει:
Τι ακριβώς έχουμε αποδείξει — και ποιο συμπέρασμα θα ήταν ισχυρότερο από τα διαθέσιμα στοιχεία;
38. Δοκιμή μεταφοράς: τι αλλάζει όταν αλλάζει το πλαίσιο;
Ένας μαθητής κατανοεί πραγματικά μια ιδέα όταν μπορεί να τη χρησιμοποιήσει σε διαφορετικές καταστάσεις.
Ας δοκιμάσουμε τη διάκριση ανάμεσα σε παραδείγματα και αποδείξεις.
Περίπτωση Α — Μαθηματικά
Ένας τύπος λειτουργεί για τις πρώτες είκοσι τιμές.
Αρκεί για να αποδείξουμε ότι ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς;
Όχι.
Περίπτωση Β — Προγραμματισμός
Ένας αλγόριθμος περνά όλες τις δοκιμές που έχουμε γράψει.
Αρκεί για να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει κανένα σφάλμα;
Όχι γενικά.
Περίπτωση Γ — Γεωμετρία
Μια σχέση φαίνεται αληθής σε ένα συγκεκριμένο σχήμα.
Αρκεί για να ισχύει σε όλα τα σχήματα της ίδιας κατηγορίας;
Όχι χωρίς περαιτέρω τεκμηρίωση.
Περίπτωση Δ — Πεπερασμένο σύνολο
Μια πρόταση αφορά ακριβώς πέντε συγκεκριμένους αριθμούς.
Ελέγχουμε σωστά και τους πέντε.
Μπορεί αυτό να αποτελέσει πλήρη απόδειξη για το συγκεκριμένο σύνολο;
Ναι.
Το σημαντικό δεν είναι να επαναλαμβάνουμε μηχανικά ότι «τα παραδείγματα δεν αποδεικνύουν τίποτα».
Το σημαντικό είναι να αναγνωρίζουμε πότε ο έλεγχος είναι μερικός και πότε είναι πλήρης σε σχέση με το δηλωμένο πεδίο.
39. Η μεγαλύτερη παγίδα: να μετατρέπουμε έναν σωστό κανόνα σε απόλυτο σύνθημα
Ακόμη και η φράση:
«Ένα παράδειγμα δεν είναι απόδειξη.»
χρειάζεται προσεκτική ερμηνεία.
Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας άρτιος πρώτος αριθμός, αρκεί να παρουσιάσουμε τον αριθμό 2 και να δείξουμε ότι είναι άρτιος και πρώτος.
Ένα παράδειγμα μπορεί λοιπόν να αποδείξει μια υπαρξιακή πρόταση.
Επίσης, ένα μόνο αντιπαράδειγμα μπορεί να απορρίψει μια καθολική πρόταση.
Άρα η ακριβής αρχή είναι:
Ένας πεπερασμένος αριθμός επιβεβαιωτικών περιπτώσεων δεν αποδεικνύει αυτομάτως μια καθολική πρόταση για άπειρο πεδίο.
Αυτή η διατύπωση είναι λιγότερο εντυπωσιακή.
Αλλά είναι μαθηματικά ακριβέστερη.
40. Η ίδια πληροφορία μπορεί να έχει διαφορετική λογική λειτουργία
Ο αριθμός 2 μπορεί να είναι:
ένα απλό παράδειγμα άρτιου αριθμού,
ένα παράδειγμα πρώτου αριθμού,
ένα αντιπαράδειγμα στην πρόταση ότι όλοι οι πρώτοι είναι περιττοί,
ή ένας μάρτυρας που αποδεικνύει ότι υπάρχει άρτιος πρώτος αριθμός.
Ο αριθμός δεν άλλαξε.
Άλλαξε η πρόταση που εξετάζουμε.
Αυτό είναι ένα εξαιρετικά σημαντικό μάθημα.
Η λογική λειτουργία ενός δεδομένου εξαρτάται από το ερώτημα στο οποίο απαντά.
41. Από τη σωστή λύση στη σωστή ερώτηση
Όταν ένας μαθητής βλέπει μια μαθηματική πρόταση, μπορεί να ακολουθήσει τέσσερα βήματα.
Πρώτα, να προσδιορίσει τι ακριβώς ισχυρίζεται η πρόταση.
Έπειτα, να εντοπίσει το πεδίο και τις προϋποθέσεις.
Στη συνέχεια, να αποφασίσει αν χρειάζεται απόδειξη, αντιπαράδειγμα ή προσδιορισμό του πεδίου ισχύος.
Τέλος, να ελέγξει αν το επιχείρημά του απαντά πραγματικά στο αρχικό ερώτημα.
Αυτό είναι πιο σημαντικό από το να αναζητά αμέσως έναν γνωστό τύπο.
42. Μαθηματικά, λογική και γλώσσα στην εκπαίδευση
Η μαθηματική σκέψη δεν αναπτύσσεται μόνο με την απομνημόνευση κανόνων.
Χρειάζεται να κατανοούμε γιατί ένας κανόνας ισχύει, ποιες είναι οι προϋποθέσεις του και πώς αλλάζει η λύση όταν αλλάζει το πρόβλημα.
Το ίδιο ισχύει και για την εκμάθηση μιας γλώσσας.
Η αναγνώριση μιας λέξης δεν εγγυάται ότι μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε σωστά.
Η κατανόηση μιας πρότασης δεν εγγυάται ότι κατανοούμε τη λογική της λειτουργία.
Και η απομνημόνευση μιας μαθηματικής απόδειξης δεν εγγυάται ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε μια νέα.
Η ουσιαστική μάθηση συνδέει:
αναγνώριση → κατανόηση → ανάκληση → εφαρμογή → μεταφορά σε νέα κατάσταση.
Αυτή η προσέγγιση συνδέεται με τη φιλοσοφία του Language Thinking Laboratory και της Levitin Language School.
43. Γιατί η διδασκαλία μαθηματικών σε άλλη γλώσσα απαιτεί περισσότερα από μετάφραση
Ένας μαθητής μπορεί να κατανοεί τα μαθηματικά στη μητρική του γλώσσα, αλλά να δυσκολεύεται όταν διαβάζει την ίδια έννοια στα ελληνικά.
Αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι δεν γνωρίζει τα μαθηματικά.
Μπορεί να δυσκολεύεται με τη γλωσσική διατύπωση.
Αντίστροφα, ένας μαθητής μπορεί να γνωρίζει την ελληνική ορολογία χωρίς να κατανοεί τη μαθηματική έννοια.
Γι’ αυτό πρέπει να διακρίνουμε:
Γλωσσική δυσκολία: δεν κατανοώ τη διατύπωση.
Εννοιολογική δυσκολία: δεν κατανοώ τη μαθηματική σχέση.
Διαδικαστική δυσκολία: δεν γνωρίζω ποια βήματα να εκτελέσω.
Λογική δυσκολία: δεν μπορώ να αιτιολογήσω το συμπέρασμα.
Οι τέσσερις δυσκολίες μπορούν να συνυπάρχουν, αλλά δεν αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο.
44. Η εκπαίδευση δεν είναι η συλλογή σωστών απαντήσεων
Ένας μαθητής μπορεί να λύσει εκατό ασκήσεις του ίδιου τύπου.
Αν όμως μια μικρή αλλαγή στη διατύπωση τον εμποδίζει να συνεχίσει, τότε χρειάζεται να εξετάσουμε τι ακριβώς έχει μάθει.
Ίσως έχει αυτοματοποιήσει μια διαδικασία.
Αυτό είναι χρήσιμο.
Αλλά η διαδικαστική ευχέρεια δεν αντικαθιστά την κατανόηση των συνθηκών εφαρμογής της.
Ο στόχος δεν είναι να απορρίψουμε την εξάσκηση.
Είναι να τη συνδέσουμε με τη σκέψη.
45. Levitin Language School — γλώσσες, μαθηματικά και ακαδημαϊκά μαθήματα
Η Levitin Language School προσφέρει εξατομικευμένη διαδικτυακή εκπαίδευση με διαφορετικές μαθησιακές κατευθύνσεις.
Η εκπαιδευτική δομή περιλαμβάνει τέσσερις τομείς:
Γλώσσες · Ακαδημαϊκά μαθήματα · Μετάφραση και επαγγελματικές γλωσσικές υπηρεσίες · Γλώσσα + μάθημα
Ανάλογα με τον μαθησιακό στόχο, η εκπαίδευση μπορεί να επικεντρώνεται στην κατανόηση μιας γλώσσας, στην ανάπτυξη μαθηματικών δεξιοτήτων, στην ακαδημαϊκή προετοιμασία ή στη μελέτη ενός μαθήματος μέσω άλλης γλώσσας.
Η συγκεκριμένη προσέγγιση δεν περιορίζεται στην απομνημόνευση τύπων.
Εξετάζει τι γνωρίζει ο μαθητής, τι κατανοεί, τι μπορεί να εξηγήσει και πώς χρησιμοποιεί τη γνώση σε πραγματικές ή νέες καταστάσεις.
Για πληροφορίες σχετικά με την εξατομικευμένη διαδικτυακή εκπαίδευση, τους διαθέσιμους εκπαιδευτικούς και τις μαθησιακές ανάγκες, μπορείτε να επικοινωνήσετε μέσω Telegram ή WhatsApp.
Η αρχική συνεννόηση για τους στόχους, το επίπεδο, το πρόγραμμα και τους όρους πραγματοποιείται γραπτώς.
46. Τελική σύνθεση: τι αποδεικνύει πραγματικά ένα παράδειγμα;
Ας επιστρέψουμε στην αρχική ιδέα.
Έχουμε μια μαθηματική πρόταση.
Εξετάζουμε πολλές περιπτώσεις.
Όλες συμφωνούν.
Τι γνωρίζουμε;
Ότι η πρόταση ισχύει στις περιπτώσεις που εξετάσαμε.
Τι δεν γνωρίζουμε ακόμη;
Ότι ισχύει σε όλες τις επιτρεπτές περιπτώσεις.
Για να προχωρήσουμε, πρέπει να εξετάσουμε τη λογική μορφή της πρότασης και το πεδίο της.
Αν είναι καθολική, χρειαζόμαστε γενική απόδειξη ή κατάλληλη εξαντλητική επαλήθευση όταν το πεδίο είναι πεπερασμένο.
Αν είναι υπαρξιακή, ένα κατάλληλο παράδειγμα μπορεί να αρκεί.
Αν είναι ψευδής καθολική πρόταση, ένα έγκυρο αντιπαράδειγμα αρκεί για να την απορρίψει.
Αν ισχύει μόνο υπό συγκεκριμένες συνθήκες, πρέπει να διατυπώσουμε αυτές τις συνθήκες.
Οι βασικές διακρίσεις
Παρατήρηση ≠ απόδειξη
Εικασία ≠ θεώρημα
Πολλά παραδείγματα ≠ αυτομάτως καθολική ισχύς
Ένα αντιπαράδειγμα → απόρριψη καθολικής πρότασης
Καθολική πρόταση ≠ υπαρξιακή πρόταση
Αναγκαία συνθήκη ≠ ικανή συνθήκη
Αν \(P\), τότε \(Q\) ≠ αν \(Q\), τότε \(P\)
Μαθηματική επαγωγή ≠ απλή παρατήρηση πολλών περιπτώσεων
Επιτυχημένες δοκιμές ≠ αυτόματη απόδειξη ορθότητας
Σωστό αποτέλεσμα ≠ απαραίτητα σωστή αιτιολόγηση
Κατανόηση ενός παραδείγματος ≠ δυνατότητα μεταφοράς της γνώσης
Η σημαντικότερη ερώτηση δεν είναι:
«Πόσες φορές λειτούργησε;»
Αλλά:
«Τι ακριβώς δικαιολογεί το συμπέρασμα ότι πρέπει να λειτουργεί σε όλες τις περιπτώσεις που ισχυριζόμαστε;»
Αυτή είναι η διαφορά ανάμεσα στην αναγνώριση ενός μοτίβου και στη μαθηματική σκέψη.
Σχετικά με τον συγγραφέα
Tymur Levitin
Ιδρυτής και διευθυντής της Levitin Language School, καθηγητής ξένων γλωσσών, μεταφραστής και συγγραφέας.
Το εκπαιδευτικό και συγγραφικό του έργο συνδέει την εκμάθηση γλωσσών με τα ακαδημαϊκά μαθήματα, τη λογική, την κατανόηση εννοιών και την πρακτική εφαρμογή της γνώσης.
Βασική αρχή της προσέγγισής του είναι ότι η αναγνώριση μιας απάντησης ή η απομνημόνευση ενός κανόνα δεν ισοδυναμεί με την κατανόηση του μηχανισμού που βρίσκεται πίσω από αυτόν.
Επίσημος ιστότοπος: Levitin Language School
Επικοινωνία: Telegram · WhatsApp
Ηλεκτρονική διεύθυνση συγγραφέα: tymurlevitin@levitintymur.com
© Tymur Levitin — Ιδρυτής και διευθυντής της Levitin Language School. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Σχόλια
Δημοσίευση σχολίου